מהמעט שאברון דאג לספר על עצמו, נודע כי גדל בתל אביב, בן לרוקח שנולד בפולין ועלה מצרפת ואמא שנולדה ברוסיה ועלתה מבלגיה. בביתו ספג את ההערכה לאוכל ולחומרי גלם איכותיים.

אברון היה בעתודה האקדמית, במסגרתה עשה תואר בכלכלה ובחלק משירותו הצבאי היה עורך כתב העת "מערכות שריון". הקריירה העיתונאית שלו החלה בשנת 1970 ככתב כלכלי בעיתון מעריב. טומי לפיד, שהיה אחד מעורכי העיתון, הקים מוסף בשם "פנאי" והציע לאברון לכתוב על אוכל. שם פרסם בין השאר כתבות על אוכל שאינו כשר, דבר חדשני ולא מקובל באותם זמנים.

בסוף שנות ה-70 פתח את מסעדת "הקיוסק" בנווה צדק, בתחילה היכן שהיה תיאטרון נווה צדק, חלק מהמלצריות היו שחקניות בתיאטרון, ואחר-כך עבר למקום שבו נמצאת היום מסעדת "בליני" בתחומי מרכז סוזן דלל. המסעדה הקטנה, שהייתה למעשה חדר אחד עם תנור, כיור ודלפק, נחשבה חדשנית והציגה לראשונה בישראל את נתח הרוסטביף שהפך פופולארי במספר רב של מסעדות ומעדניות בהמשך. במסעדה עבד עם אברון בבישול וניהול המסעדה חיים כהן, שכיום נחשב בין כאחד השפים הבכירים בארץ.

עם הקמת העיתון "חדשות", בשנת 1984, צירף אותו העורך הכלכלי, שלמה פרנקל, לעיתון. אברון היה עיתונאי שטח וסיקר בין השאר את משפט הרצח יערי-גרנות, ונשלח לברלין על-מנת לסקר את נפילת חומת ברלין.

במקביל להיותו כתב כלכלי ב"חדשות" היה אברון גם כתב אוכל ובעל טור קבוע בעיתון. כתיבתו של אברון הייתה חדשנית בזמנו והתאפיינה ביחס נהנתני ואירוטי למאכלים, הוא פרסם סיפורי אוכל וביקורת מסעדות. תחילת דרכו של ישראל אהרוני הייתה בטורו של אברון, בו הייתה לו פינה בשם "ביקורת ממתקים", הוא היה כותב בהומור על חטיפים חדשים שיצאו לשוק.

בשנת 1987 פרסם ביחד עם ישראל אהרוני את הספר "מבשלים בשר", שהיה המדריך המקיף הראשון בארץ לבחירה, טיפול ובישול של נתחי בשר שונים. בשנת 1989 פרסמו השניים את הספר "בישול איטלקי", שהתאפיין בתיאור כולל של המטבח האיטלקי, הרכבת המנות ומתכונים מסורתיים.

בדצמבר 1995 פתח יחד עם ציפורה אסף, חברתו עוד מימי בית-הספר העממי, את מסעדת "יועזר בר יין", ברחוב יועזר איש הבירה ביפו. המסעדה נפתחה בקונספט של בית יין והציעה לסועדיה מגוון רחב של יינות מן העולם, פרי התמחותו של אברון לאורך השנים. עם הזמן העשיר אברון את תפריט המזון וכלל מנות בשר שהתפרסמו בפשטותן ואיכותן. המסעדה פעילה עד היום (נובמבר 2012), בבעלותם של אברון ז"ל וציפורה אסף.

בשל חדשנותו לאורך השנים תואר שאול אברון בפי שפים ועיתונאי מזון רבים כפורץ דרך, מחנך ואושיה קולינרית. מסעדתו "יועזר בר יין" הפכה מקום מפגש לקהילת הבשלנים בישראל, שדאגו לפרגן לו ולעשייתו הקולינרית לאורך השנים בביקורות חיוביות.